Однажды черепаха, символ медлительности, поразила Ахиллеса вызовом состязаться в быстроте бега. Более рассмешенный, чем раздосадованный смелостью своей соперницы, Ахиллес сейчас же согласился. Он не делал также возражений, когда речь зашла о том, чтобы пустить черепаху на значительное расстояние вперед, а именно на половину всего пути в 200 м. Он рассчитывал за то время, пока черепаха пройдет 1 метр, пробежать больше 10 метров, и ему казалось даже, что он может дать льготный промежуток в 90 % и все же обгонит ее.
Во время состязания он, к великому своему удивлению, заметил, что, несмотря на по-видимому выгодные для него условия, он никогда не может окончательно нагнать черепаху. Это его так смутило, что он остановился в беспомощном удивлении перед своей неспособностью и стоял так долго, что черепаха имела достаточно времени, чтобы достигнуть цели.

Рис. 80. Почему Ахиллес не мог догнать черепахи

Трудность, перед которой он отступил, представлена на рис. 80. А представляет то место, с которого Ахиллес начинает свой бег, есть середина пути, т. е. место выхода черепахи, В — конец пути. Допустим, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Таким образом, черепаха проходит 10 м в то время, как Ахиллес пробегает 100 м, отделяющих его от черепахи в начале состязания. Когда Ахиллес находится в С, то черепаха поэтому находится в D, на 10 м ближе к цели. Пока Ахиллес проходил 10 м, черепаха подвигается вперед еще на 1 метр, Ахиллес теперь находится в D, а черепаха в Е. В то время, как Ахиллес пробегает далее этот метр, его противник снова подвигается на 1/10 м. Он пробегает и это расстояние, но черепаха за это время снова успевает пройти 1/100 м = 1 см. Так продолжается без конца. Всегда черепаха оказывается впереди, хотя и на очень малое расстояние. Другими словами: Ахиллес никогда не может догнать черепахи, а тем более обогнать ее.
Вот эта теоретическая трудность так сильно изумила быстроногого Ахиллеса. Отсюда можно заключить, что у него было больше силы в ногах, чем в голове. Иначе говоря, он должен был бы, выражаясь языком теперешней математики, сказать себе приблизительно следующее.
Предположим, что Ахиллес в состоянии пробежать расстояние АВ в х секунд, а следовательно, черепаха в 10х: секунд, в таком случае ей понадобится 5х секунд для того, чтобы пройти расстояние ВС. Так как 5х; больше х, то она придет к цели позднее, чем Ахиллес. Следовательно победителем состязания должен быть Ахиллес.
Это так ясно, что никто бы не стал держать пари за черепаху. Но ответ, полученный нами от математика, совершенно нас не удовлетворяет, так как он приблизился к рассмотрению этого вопроса с несколько иной стороны: перед логикой греческого философа Зенона, который придумал этот парадокс еще за 500 лет до P. X., мы все-таки находимся в таком же смущении, как и Ахиллес в этой шуточной истории. Чтобы лучше познакомиться с сутью этого дела, следует сложить все расстояния, которые прошла черепаха. Согласно нашим прежним рассуждениям, они равны: 10 м; 1 м; 0,1 м; 0,01 м; 0,001 м; 0,0001 м; 0,00001 м и т.д. Каждый следующий промежуток составляет одну десятую часть предыдущего. Подобный числовой ряд в математике называется: «геометрической профессией». Чему равняется его сумма? Очевидно:
Эти точки означают, что сумма состоит из неограниченного числа слагаемых, из которых мы только выписали несколько первых чисел.
Эту сумму мы представляем в виде десятичной дроби, а именно: 11,111111.... Это бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом 1. Превратив ее в обыкновенную, мы получаем 11 1/9. Результат поразителен, если бы мы продолжали рассуждение в духе Зенона до бесконечности, то сумма бесконечно большого числа все уменьшающихся слагаемых составила бы, как это показало вычисление, все же только 11 1/9 м, т.е. когда черепаха пройдет 11 1/9 м, то Ахиллес ее догонит. Решение этой задачи можно получить также при помощи уравнения (пропорции). Путь, который черепаха пройдет, пока ее нагонит Ахиллес, пусть будет х метров. В этом случае путь, который прошел Ахиллес, будет (100 + х) метров. Так как пути, пройденные этими двумя движущимися телами в одинаковые промежутки времени, относятся между собой, как скорости, то получается следующая пропорция: (100 + х) : х — 10 : 1. 
Но последний способ решения проблемы не может нам ничего дать в смысле возражений против Зенона, так как он, подобно первому из трех арифметических рассуждений, подходит к этому делу с совершенно другой стороны и с совершенно иными средствами.
Таким образом, возвратимся для окончательного решения к нашей десятичной дроби 11,111111... — мы увидим, что эта дробь, несмотря на неограниченное число слагаемых, в сумме имеет конечное, ограниченное значение. Не правда ли это звучит парадоксально? Неограниченное множество чисел складываются, но все же пе дают безгранично большого числа. Где искать причину?
Это объясняется тем, что числа этого ряда не увеличиваются и не остаются одинаковыми, а все убывают. Остановимся на каком-нибудь знаке десятичной дроби; значение этой дроби будет тем ближе к истинному, т. е. к величине 1/9, чем большее число десятичных знаков мы возьмем, так как каждая последующая «единица» составляет лишь десятую часть предшествующей; например, 0,1 — 1/10, 0,11 — 11/100; 0,111 ~ 111/1000 и т.д. Получить же значение 1/9 мы можем лишь тогда, если вообразим десятичную дробь бесконечно продолженной.
Пожалуй, мог бы отыскаться человек, который, будучи глубоко убежден в справедливости того, что только что было сказано относительно чисел, все же был бы в изумлении, узнав, что даже безграничное число отрезков при сложении друг с другом могут дать при некоторых известных условиях лишь вполне ограниченный отрезок. Мы можем ему сказать, что те числа, которыми мы только что пользовались, представляют собой измерения этих отрезков; этим объяснение исчерпывается. Тому, кто еще сомневается, мы можем помочь еще больше. Представим отрезок длиною в 1 метр. Разделим его на 2, 4, 8, 16, 32 и т.д. частей.
Это деление по желанию можно продолжать без конца. Мы также можем вообразить отрезок, разделенный на 1000, 100 000, одним словом на бесконечно большое число частей. Чему же равняется вся сумма этого бесконечного числа частей? Также 1 метру. То же относится и к расстоянию, проходимому нашей черепахой.
Разница заключается лишь в том, что в последнем случае нам необходимо сначала составить эту сумму, и поэтому происходит то, что мы не сразу замечаем, что сумма имеет только конечную величину. А если у нас спросят, в состоянии ли мы представить число 11 1/9 разложенным на безгранично большое число частей, то мы, конечно, не замедлим дать утвердительный ответ.

Опубликовано в Математический парадокс

© 2018 Global - Library . Ru. Все права защищены.
При копировании текста на Ваш ресурс просим указывать страницу - источник.
GlobaL - LibrarY . Ru — Бесплатная интернет библиотека для Вас. По всем вопросам обращаться сюда.